Чтение онлайн

– 272 -

– Ну, как Илюша?
– сочувственно спросил Радикс.
– Способен ли ты после этого соображать дальше или нет?

– Сейчас!
– ответил Илюша.
– Я только еще попробую.

Мальчик взял волшебно-математический аппаратик, измеряющий кривизну, и как только он приложил оловянный листик к поверхности гиперболоида, немедленно стрелка аппаратика пошла от буквы "Е" в другую сторону - это была самая настоящая отрицательная кривизна.

– Ясно?
– спросил Коникос.

Илюша кивнул и сказал:

– Трудновато. Но мне кажется, я все-таки кое-что понял.

А теперь я хочу наконец про Архимеда послушать!

– Ну что ж!
– раздумчиво промолвил Коникос.
– Теперь-то, пожалуй, уж можно... Да, постой-ка! Я вот еще что хотел тебе сказать, чтобы ты не забыл. Дело в том, что наш эллипсоид вращения можно еще сжать сверху вниз так, чтобы его круглое сечение тоже обратилось из круга в эллипс. И тогда из эллипсоида вращения получится трехосный эллипсоид, у которого все три оси но всем трем измерениям, то есть и в длину, и в ширину, и в вышину, разные или по крайней мере могут быть разные. Ясно, что как ни рассекай его по всем этим трем перпендикулярным направлениям, в сечении получишь эллипс. Например, кусочек туалетного мыла, который в просторечии нередко называют обмылочком, обычно как раз и имеет форму трехосного эллипсоида! Или морские камушки, обкатанные морскими волнами...

– Как хорошо, - сказал Илюша, - что все эти ваши математические чудеса так легко встретить! Подумаешь, какое чудо обмылочек, а оказывается, он родственник самим коническим сечениям! (А про себя подумал: "Вот, значит, почему этот козлоногий человечек с флейтами говорил о морских камушках!") Постойте-ка, - продолжал он, - вы мне обещали показать, как делается псевдосфера.

– Совсем из головы вон!
– сокрушенно сказал Асимптотос.
– А ведь и вправду обещали! Поди-ка, Коникос, поищи-ка, где у нас там трактриса завалилась.

Не прошло и минуты, как Коникос вернулся весьма смущенный и раздосадованный.

– Пропала, скажи на милость! Истинное наказание!

– Ничего, - успокоил Асимптотос.
– Подумаешь, какое горе! Возьмем да и новую сделаем.

Коникос принес довольно большую цепь с тяжелыми звеньями, вроде корабельной, и повесил ее за два конца на стену.

Цепь угрюмо повисла, образуя почти дугу, открытую сверху.

– 273 -

– Похоже на параболу, - шепнул Илюша Радиксу.

– Неверно. Впрочем, подобную ошибку в свое время сделал даже сам Галилей, так что тебе и подавно простительно.

Однако все же ты должен запомнить, что это вовсе не парабола, а так называемая цепная линия. Она только на маленьком участке у вершины очень похожа на параболу.

– К этой цепи у нас, - сказал Асимптотос, - прилажена особая ниточка, гибкая, нерастяжимая. Сейчас я ее отделю от цепи. Это особый способ чертить кривые - при помощи такой ниточки. Ты умеешь чертить по линейке, умеешь чертить циркулем, а это еще один способ чертить. Смотри внимательно!

Я отщипну эту ниточку в самой точке вершины цепи, то есть цепной линии, и буду, крепко все время натягивать нить, следить за тем, какую кривую опишет конец нити в той плоскости, в которой находится кривая. Так вот эту кривую, которую опишет конец нити, мы называем эвольвентой данной исходной, начальной кривой. А кривая, с которой надо сматывать нить, чтобы получить некую требуемую кривую, называется эволютой этой последней.

При этих словах Асимптотос отщипнул что-то от цепи в самой нижней ее точке. В руках его оказалась тонкая блестящая нить, которую наш ученый старичок начал как бы сматывать с цепи, все время крепко натягивая нить вниз и направо.

– 274 -

И конец нити послушно начертил новую своеобразную кривую, совершенно непохожую на ценную линию.

– Ну вот тебе и трактриса!
– радостно воскликнул Коникос.
– Сам Лейбниц дал ей это имя.

– Так что трактриса есть эвольвента цепной линии?
– спросил Илюша.

– Точно!
– отвечал Коникос.
– Оказывается, ты кое-что соображаешь!

– Но если, - снова начал Илюша, - это особый способ чертить кривые, то должен ведь быть какой-нибудь общий прием, чтобы начертить так любую кривую?

– Это не так уж сложно, - вмешался Асимптотос.
– Ты вот посмотри на перпендикуляры к касательным, которые именуются нормалями данной кривой.

– Радиус окружности и есть ее нормаль?
– спросил Илюша.

– Справедливо!
– отвечал Асимптотос.
– Посмотри и заметишь, что касательные эволюты суть не что иное, как нормали эвольвенты. Поэтому, если тебе задана эвольвента, то построй к ней побольше нормалей: все они будут касательными к эволюте, которую эти касательные очень ясно обозначат на чертеже. Это будет кривая, плавно огибающая все эти прямые, касаясь их.

– Эволют у нас девать некуда, - заметил Коникос, - целая кладовая. Но можно еще и по-другому все это проделать.

Возьми отрезок прямой, приложи его в одной точке к шаблону эволюты и кати его по кривой, только чтобы он не скользил.

Вот ты и получишь эвольвенту безо всякой нити, потому что какая-нибудь заранее отмеченная точка на катящемся отрезке вычертит эвольвенту.

Радикс сейчас же объяснил Илюше, что он на досуге и сам все это может проделать. Надо взять топкую и нежесткую нитку примерно в сорок сантиметров длиной, намочить ее и мокрую повесить на стену на два гвоздика, которые вбиваются на расстоянии около пятнадцати сантиметров друг от друга.

А на то место, куда мы повесим нить, надо заранее прикрепить кнопками лист белой бумаги. Затем следует аккуратно начертить кривую, которую образует мокрая нитка, - это и будет приблизительно цепная линия. По этому чертежу надо изготовить картонный или фанерный шаблончик. В верхнем его углу следует закрепить нитку, обвести се по краю шаблона, а у вершины сделать петельку. Если теперь взять карандаш (сделав предварительно маленькую зарубку на графите) и вставить в эту петельку, то карандаш - если осторожно сматывать нитку - вычертит трактрису.

Коникос взял кривую и приладил ее, кряхтя и ворча, к диаграмме с картезианскими осями, повернув ее на девяносто градусов.

– 275 -

– Трактриса, - сказал он, передохнув после своей нелегкой работы, - это кривая весьма древнего происхождения.

Псевдосфера

Одно из замечательных свойств ее заключается в том, что если к ней провести касательную в любой точке, то расстояние по касательной от точки касания до некоторой прямой будет постоянным (удаляясь от своей вершины, трактриса неограниченно приближается к этой прямой, и на нашем чертеже эта прямая будет перпендикулярна к оси цепной линии). Если поместить конец нити на расстоянии а от горизонтальной прямой, а потом другой ее конец тянуть вдоль этой прямой, то первый конец и опишет трактрису. Отсюда и название ее (от латинского слова "тянуть"). Если же теперь мы прикрепим трактрису по ее горизонтальной оси к Центрифуге, то мы и получим искомую поверхность вращения, то есть именно псевдосферу.