Чтение онлайн

– Так как мой шестиугольник состоит из трех "черных" треугольников, то, значит, он образует три лунки для ядер (остальные будут лишними), а следовательно, сверху можно положить m р и ядра. Снизу же седьмое, то есть центральное, ядро, о котором мы толкуем с тобой, тоже опирается на три ядра, что ясно из тех же самых соображений. Итого: шесть, да три, да еще три - выходит двенадцать. Так оно и есть. Вот так здорово вышло!

– 119 -

Шесть треугольников четвертого слоя.

– Здорово-то здорово, но дело в том, что ты все это делал с ядрами в руках. А как бы это нам с тобой рассудить вообще, не касаясь ядер? Вот что интересно.

Илюша задумался. Ему казалось, что и без того все ясно, но высказать эту храбрую мысль он почему-то не решился. Радикс немного поморщился и произнес:

– Вот передо мной кучка ядер в два слоя: в первом слое, как обычно, одно ядро, во втором - три. Ясно?

– Вполне.

– Прелестно и очаровательно! Теперь пусть фигура не разрушается, пусть линии, соединяющие центры ядер, не расплываются и не укорачиваются, а ядра уменьшатся почти до размеров точки, только чтобы можно было заметить глазом.

Тетраэдр.

Немедленно все совершилось как по-писанному. И вскоре перед Илюшей на полу стояла некая геометрическая фигура, очень похожая на те проволочные модели, с которых рисуют начинающие живописцы. Ядра стали толстыми "точками" в углах фигуры, а центры ядер соединились тонкими линиями.

– 120 -

– Это, - сказал Радикс, - не что иное, как тетраэдр, один из правильных многогранников, каждая грань которого есть равносторонний треугольник. Их всего четыре, столько же у него и вершин (вспомни, что в той фигуре, с которой мы начали, было тоже четыре ядра), а ребер у тетраэдра шесть. Пять правильных многогранников были известны еще грекам, в частности о них писал Платон, почему их нередко называют Платоновыми телами. Вот они каковы: тетраэдр, ограниченный четырьмя правильными треугольниками; октаэдр, ограниченный восемью правильными треугольниками; икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными треугольниками; куб - известное тебе тело, ограниченное шестью квадратами, и додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Так вот, перед тобой здесь тетраэдр. Рассматривая его, можно легко понять, как лежат ядра в куче. Надо иметь в виду, что нужно уложить ядра так, чтобы они располагались наиболее плотно. Чтобы нам в этом разобраться, начнем с более простой задачи. Как уложить на плоскости возможно больше кругов, которые должны частично соприкасаться, но нигде не перекрываться? Рассуждение приводит нас к выводу, что наиболее плотное (решетчатое) расположение кругов на плоскости получается, если центры трех кругов, из которых только два лежат в одном ряду, образуют равносторонний треугольник, сторона которого, очевидно, равна диаметру круга.

Когда мы теперь переходим к расположению не кругов на плоскости, а шаров в пространстве, то очевидно, что пока речь идет о расположении шаров в одни слой, остается верным правило равностороннего треугольника, которое мы формулировали для кругов на плоскости. Но когда дело касается наиплотнейшего расположения шаров в пространстве, тут задача несколько усложняется. Как ты уже отметил (и совершенно правильно), мы не имеем возможности укладывать шары в следующем слое в каждую лунку - для этого шары слишком велики, - следовательно, нам надо выбирать те или иные лунки. Ты сам это заметил, когда говорил о шестиугольнике. Помнишь?

– Конечно, помню.

Октаэдр.

Куб.

Икосаэдр.

– 121 -

Додекаэдр.

– Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.

Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.

– Так, - сказал Илюша, - теперь я как будто понимаю.

Точки в углах тетраэдров - это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем - три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра - это те треугольнички, которые мы называли "черными". А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас "белым". Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.

– Но это еще не все, - добавил Радикс.
– Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в пространстве.

Наиболее плотное расположение кругов на плоскости.

– 122 -

Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники - основания трех нижних тетраэдров; кружки - вершины этих тетраэдров (А, В.С); звездочка - положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC.

Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется менаду двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по...

– Второму способу!
– закончил Илюша.
– Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: "со всех четырех сторон", а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху - одно, в следующем слое - столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем - столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше - десять. Как же считать?

Четыре тетраэдра (вид сбоку).

– Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.

– В первом и втором слоях вместе: один да три - четыре.

– Квадрат двух, - подсказал Радикс.
– А во втором и третьем?

– 123 -

Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики). опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат.